Анотація
Батирев О.А. Методи сингулярних інтегральних рівнянь в математичних моделях лінійних систем. Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут проблем машинобудування ім. A.M. Підгорного МЛИ України, Харків, 2010.
Дисертаційна робота присвячена розробці математичних моделей лінійних систем на базі рівнянь типа згортки, сингулярних інтегральних рівнянь та сингулярних інтегральних рівнянь з некарлеманівським зсувом, дослідженню їх властивостей та побудові чисельних розв'язків.
Вперше у явному вигляді отримано розв'язок задачі відновлення імпульсної характеристики для рівняння типу згортки за умови використання спеціального вигляду зондуючих сигналів. Розроблено метод наближеного обчислення розв'язків, отримано оцінку похибки методу.
Вивчені властивості операторів комутації, що пов'язані з оператором сингулярного інтегрування. На їх базі побудовані моделі, які описують поведінку складових систем з комутацією, розроблена методика моделювання лінійних систем зі змінними параметрами. Побудована математична модель процесу формування мікротріщин.
Вперше отримана оцінка розмірності ядра сингулярного інтегрального оператора з некарлеманівським зсувом, вивчено випадок дробово-лінійного зсуву. Розроблені прямий та ітераційний наближені методи для побудови розв'язків. Побудовано математичні моделі на базі сингулярних інтегральних рівнянь з некарлеманівським зсувом.
Ключові слова: математичні моделі, лінійні системи, імпульсна характеристика, рівняння типу згортки, комутація сигналів, сингулярні інтегральні рівняння, некарлеманівський зсув, наближені методи
Батырев А.А. Методы сингулярных интегральных уравнений в математических моделях линейных систем. Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков, 2010.
Диссертационная работа посвящена разработке математических моделей линейных систем на базе уравнений типа свертки, сингулярных интегральных уравнений и сингулярных интегральных уравнений с некарлемановским сдвигом, исследованию свойств модельных уравнений, созданию вычислительных методов для оценки размерности ядер соответствующих операторов и построения численных решений.
Впервые и явном виде построено решение задачи восстановления импульсной характеристики для уравнения типа свертки для случая применения специального вида зондирующих сигналов. Изучены свойства таких уравнений, перечислены классы сигналов, ПОЗВОЛЯЮЩИХ реализовать предложенный подход, разработан метод приближенного вычисления решений, получена оценка погрешности метода.
Исследованы свойства операторов коммутации, связанных с оператором сингулярного интегрирования. На их базе построены математические модели, которые описывают поведение многокомпонентных систем с коммутацией, разработана методика моделирования линейных систем с переменными параметрами. На основе сингулярных интегральных уравнений создана математическая модель процесса формирования микротрещин с учетом полей напряжения в зонах внутренних дефектов.
Впервые получена оценка размерности ядра сингулярного интегрального оператора с некарлемановским сдвигом, изучен случай дробно-линейного сдвига. Разработаны прямой и итерационный приближенные методы для оценки размерности ядра и построения решений. Все результаты также распространены и на случай матричного уравнения.
Разработаны математические модели на основе сингулярных интегральных уравнений с некарлемановским сдвигом, позволяющие в должной мере отобразить динамику физических процессов и другие особенности - вращение объектов, эффект Допплера, модуляция и задержка сигналов и т.д., а также построить эффективные алгоритмы для анализа разрешимости уравнений и построения приближенных решений. Решена задача восстановления когерентной и диффузной составляющих импульсной характеристики методом частотного разделения.
Ключевые слова: математические модели, линейные системы, импульсная характеристика, уравнение типа свертки, коммутация сигналов, сингулярные интегральные уравнения, некарлемановский сдвиг, приближенные методы.
Batyrev О.A. Singular integral equations method in mathematical models of linear systems. - Manuscript.
Thesis for the scientific degree of the candidate of the physical and mathematical sciences on the specialty 01.05.02 - mathematical modeling and computational methods. - A.M. Pidgorny Institute for Mechanical Engineering Problems NAS of Ukraine, Kharkiv, 2010
The thesis is dedicated to development of mathematical models of linear systems that is based on convolution equations, singular integral equations, and singular integral equations with non-Carleman shift. Their properties were analyzed and numeric solutions were built.
The solution of impulse characteristics decomposition problem has been obtained in the explicit form for the first time for convolution equations with a special kind of sounding signals. The approximate method for numeric solutions has been developed and the estimate of method's error was constructed.
Properties of commutation operators which are based on singular integral operators have been analyzed. Mathematical models of complex systems with commutation were formed. The method of modeling of linear systems with variable parameters has also been developed. A mathematical model of micro cracks formation has been built.
The estimate of the size of kernel of singular integral operator with non-Carleman shift has been obtained for the first time and the case of linear-fractional shift has been investigated. Direct and iterative numerical methods have also been developed. Mathematical models on the base of singular integral equations with non-Carleman shift have been constructed.
Keywords: mathematical models, linear systems, impulse characteristics, convolution equations, commutation of signals, singular integral equations, non-Carleman shift, numerical methods.